凱利公式計算機：按公式計算的注碼比例
凱利公式是一條資金管理公式：在賠率與勝率已知的前提下，算出每次應投入資金的比例，使長期資金增長最快。這個計算機只做數學換算，輸出的比例取決於你輸入的勝率，而勝率通常很難準確估計，請連同下面的誤差分析一併閱讀。
凱利公式怎樣算
凱利公式是 f* = (b × p − q) ÷ b。b 是淨賠率，即小數賠率減 1（HK 賠率本身就是淨賠率）；p 是你估計的勝率；q = 1 − p。f* 是每次下注佔資金的比例。以 HK 賠率 0.90、勝率 55% 為例，b = 0.90，f* = (0.90 × 0.55 − 0.45) ÷ 0.90 = 5.00%。
當 p 恰好等於盈虧平衡勝率 1 ÷ (b + 1)，f* 為 0；p 更低時，期望回報為負，公式也不會給出負數比例，而是 0。
勝率估計偏差有多大影響
凱利公式假設你知道真實勝率。實際上勝率只能估計，而且常常估高。下表假設你估計勝率是 55%、小數賠率 1.90，並按估計值決定注碼，列出真實勝率較低時的每注長期對數增長：負數表示資金長期下跌。
| 真實勝率 | 完整凱利 | 半凱利 | 四分之一凱利 |
|---|---|---|---|
| 55.0% | +0.113% | +0.084% | +0.049% |
| 52.5% | −0.126% | −0.034% | −0.010% |
| 50.0% | −0.364% | −0.153% | −0.070% |
| 45.0% | −0.840% | −0.391% | −0.188% |
真實勝率跌到 52.5%，已低於盈虧平衡勝率 52.63%，三種倍數的增長率全部轉負。分數凱利只是令下跌較慢，並不能令無優勢的下注變成有優勢。
勝率與賠率如何改變凱利比例
小數賠率 1.90 之下，估計勝率越高，完整凱利比例越大：
| 估計勝率 | 期望回報率 | 完整凱利比例 |
|---|---|---|
| 52.0% | −1.20% | 0.00% |
| 53.0% | +0.70% | 0.78% |
| 54.0% | +2.60% | 2.89% |
| 55.0% | +4.50% | 5.00% |
| 57.5% | +9.25% | 10.28% |
| 60.0% | +14.00% | 15.56% |
| 65.0% | +23.50% | 26.11% |
估計勝率固定為 55% 時，賠率越高，盈虧平衡勝率越低，凱利比例越大：
| 小數賠率 | 盈虧平衡勝率 | 期望回報率 | 完整凱利比例 |
|---|---|---|---|
| 1.60 | 62.50% | −12.00% | 0.00% |
| 1.80 | 55.56% | −1.00% | 0.00% |
| 1.90 | 52.63% | +4.50% | 5.00% |
| 2.00 | 50.00% | +10.00% | 10.00% |
| 2.20 | 45.45% | +21.00% | 17.50% |
| 2.50 | 40.00% | +37.50% | 25.00% |
凱利公式的假設與限制
- 勝率必須準確：這是最難滿足的條件，輸入偏高會直接放大注碼。
- 賠率固定而且可重複下注：實際賽事每場賠率不同，也不能無限次重複同一個下注。
- 只考慮單一下注：同時進行的多注、過關與相關事件，需要另外的處理。
- 資金增長是長期平均：短期波動仍然很大，完整凱利的資金回撤可以相當深。
莊家利潤已計入賠率，所以對多數投注者而言，沒有優勢的下注才是常態。本計算機沒有提供任何勝率，也不判斷哪個下注有優勢。
參考資料
- Kelly criterion（維基百科）
- Kelly, J. L. Jr. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 35(4), 917–926.
常見問題
凱利公式是甚麼？
凱利公式是約翰·凱利於 1956 年提出的資金分配公式，目標是在重複下注時令資金的長期對數增長率最大。公式是 f* = (b × p − q) ÷ b，b 是淨賠率（小數賠率減 1），p 是勝率，q 是 1 − p。
凱利比例是怎樣計算的？
以 HK 賠率 0.90（小數賠率 1.90）、勝率 55% 為例：b = 0.90，f* = (0.90 × 0.55 − 0.45) ÷ 0.90 = 5.00%。資金 10,000 元時，完整凱利的注碼是 500 元。
為甚麼結果是 0？
當估計勝率不高於盈虧平衡勝率（1 ÷ 小數賠率）時，期望回報不是正數，公式給出的比例是 0，即按你輸入的數字沒有優勢。這是公式的輸出，並不是任何投注建議。
勝率應該怎樣估計？
勝率沒有官方答案，只能依賴你自己的模型或數據，而且很容易估高。下面的誤差分析顯示，勝率只高估 2.5 個百分點，就可能令原本有優勢的下注變成長期下跌。
為甚麼常見做法是半凱利或四分之一凱利？
分數凱利把注碼縮小，令資金波動較小，也較能抵受勝率估計過高的影響。但它不能令沒有優勢的下注變成有優勢：真實勝率低於盈虧平衡勝率時，任何比例的長期增長率都是負數。
這個計算機是投注建議嗎？
不是。它是數學工具，只把你輸入的資金、賠率和勝率代入公式。賭博有輸錢風險，請只用輸得起的金錢，並遵守負責任博彩原則。
風險提示
本站並非香港賽馬會（HKJC）官方網站，亦與其無任何從屬關係。本計算機是數學工具，輸出只是公式結果，不是投注建議。賭博有輸錢風險，請只用輸得起的金錢，並遵守負責任博彩原則；博彩須年滿 18 歲。若賭博已影響生活，可致電平和基金輔導熱線 1834 633。